[통계]t 분포(표)

목표 : 모평균  μ를 추정

 

문제 : 모표준편차(σ)를 모르고, 표본의 크기 n이 작다.

 

※ 가정 : 모집단이 정규분포 N(μ, σ^2)를 따른다. ※

 

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모집단이 정규분포를 따를 때, 모표준편차(σ)가 알려져 있다면 다음 식이 성립한다.

 

 

하지만 모표준편차(σ)를 모른다면????

 

모표준편차(σ) 대신에 표본표준편차(s)를 사용해야 한다.

 

(1) 표본표준편차(s)를 사용했을 때 표본의 크기(n)가 크다면, σ 대신 s를 사용해도 정규분포를 따른다.

(2) 하지만 s를 사용하는데 표본의 크기(n)가 작다면, 정규분포를 따르지 않는다!!

 

 

 

Q : 정규분포를 따르지 않으면 어떤 분포를 따르지??

A : 자유도(n-1)인 t-분포를 따른다.

 

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t-분포는 표준정규분포와 아주아주 비슷하게 생겼다.

아래 그림에서 정규분포(파란선)와 t-분포(초록선)를 비교해 보면

t-분포는 양쪽 꼬리가 두껍고 높이가 낮다.

 

정규분포(Normal Dist.)와 t-분포(자유도(df)=1) 비교

 

그러나 자유도(df, degree of freedom)가 커질수록 표준정규분포와 모양이 같아지는 것을 알 수 있다.

 

출처 : https://tjkyner.medium.com/the-normal-distribution-vs-students-t-distribution-322aa12ffd15

 

 

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<t-분포표 보는 법>

 

 : 자유도 df(degrees of freedom)일 때, 상위 α(아래 표에서는 q로 표시)의 확률을 주는 값

: t 에 (df) 를 곱하는게 아니다!! 자유도가 df인 t값이다.

 

 

위 표에서 자유도가 2이고 상위 0.025 확률을 주는 t값을 찾으면, 4.303 이다.

 

 

문제) X~t(2)일 때,

???

 

답) 0.1

 

 

문제) X~t(10)일 때,

을 만족하는 b = ???

 

답) 1.372

 

 

문제) X~t(12)일 때, P(lXl>3.055) = ???

 

답) 0.01